Основные сведения о матрицах

Предисловие автора к первому изданию В настоящее время матричное исчисление широко применяется в различных областях математики, механики, теоретической физики, теоретической электротехники и т. В то же время ни в советской, ни в иностранной литературе нет книги, которая достаточно полно освещала бы как вопросы теории матриц, так и разнообразные ее приложения. Данная книга представляет собой попытку восполнить этот пробел в математической литературе. В основе книги лежат курсы лекций по теории матриц и ее приложениям, читанные автором в разное время на протяжении последних 17 лет в Московском Государственном университете им. Ломоносова, в Тбилисском Государственном университете и в Московском физико-техническом институте. Книга рассчитана не только на математиков студентов, аспирантов, научных работниковно и на специалистов в смежных областях физиков, инженеров-исследователейинтересующихся математикой и ее приложениями. Поэтому автор стремился сделать изложение материала возможно более доступным, предполагая у читателя только знакомство с теорией определителей и курсом высшей математики в объеме программы втуза. Основные сведения о матрицах отдельные параграфы в последних главах книги требуют дополнительных математических знаний у читателя. Кроме того, автор старался сделать изложение отдельных глав возможно более независимым друг от друга. Так, например, глава V «Функции от матрицы» не опирается на материал, помещенный в главах II и III. В тех же местах главы V, где впервые используются основные понятия, введенные в главе IV, имеются соответствующие ссылки. Таким образом, читатель, уже знакомый с элементами теории матриц, имеет возможность непосредственно приступить к чтению интересующих его глав книги. Книга состоит из двух частей, основные сведения о матрицах 15 глав. В главах I и III приводятся первоначальные сведения о матрицах и линейных операторах и устанавливается связь между операторами и матрицами. В главе II излагаются теоретические основы метода исключения Гаусса и связанных с ним эффективных методов решения системы линейных уравнений при большом. В этой же главе читатель знакомится с техникой оперирования с матрицами, разбитыми на прямоугольные «клетки» пли «блоки». В главе IV вводятся имеющие фундаментальное значение «характеристический» и «минимальный» многочлены квадратной матрицы, «присоединенная» и «приведенная присоединенная» матрицы. В главе V, посвященной функциям от матрицы, даются самое общее определение и конкретные способы вычислениягде — функция основные сведения о матрицах аргументаа — квадратная матрица. Понятие функции от матрицы используется в §§ 5, 6 этой главы для нахождения и полного исследования решения системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Как понятие о функции от матрицы, так и связанное с ним исследование системы линейных дифференциальных основные сведения о матрицах с постоянными коэффициентами первого порядка опираются только на понятие о минимальном многочлене матрицы и не используют в отличие от обычного изложения так называемой «теории элементарных делителей», которая излагается в последующих главах VI основные сведения о матрицах VII. Первые пять глав охватывают некоторый цикл сведений о матрицах их применениях. Более глубокие вопросы теории матриц связаны с приведением матрицы к нормальной форме. Это приведение проводится на основе теории элементарных делителей Вейерштрасса. Ввиду важности этой основные сведения о матрицах в книге даны два ее изложения: аналитическое — в главе VI и геометрическое — в главе VII. Обращаем внимание читателя на §§ 7 и 8 главы VI, в которых рассматриваются эффективные методы нахождения матрицы, преобразующей данную матрицу к нормальной форме. В § 8 главы VII подробно исследуется метод акад. Крылова для практического вычисления коэффициентов характеристического многочлена. В главе VIII решаются основные сведения о матрицах уравнения некоторых типов. Здесь же рассматривается задача об определении всех матриц, перестановочных с данной, и детально изучаются многозначные функции от матрицы. Главы IX и X посвящены теории линейных операторов в унитарном пространстве и теории квадратичных и эрмитовых форм. Эти главы не опираются на теорию элементарных делителей Вейерштрасса используют из предыдущего материала лишь основные сведения о матрицах и линейных операторах, изложенные в первых трех главах книги. В § 9 главы X дается приложение теории форм к исследованию главных колебаний системы с степенями свободы. В § 10 этой же главы приведены тонкие исследования Фробениуса по теории ганке основные сведения о матрицах форм. Эти исследования применяются в дальнейшем в главе XV при рассмотрении особых случаев в проблеме Рауса — Гурвица. Последние пять глав составляют вторую часть книги. В главе XI определяются нормальные формы для комплексных симметрических, кососимметрических и ортогональных матриц и устанавливаются интересные связи этих матриц с вещественными матрицами тех же классов и с унитарными матрицами. В главе XII излагается общая теория пучков матриц вида где и — произвольные основные сведения о матрицах матрицы одних и тех же размеров. Подобно тому как исследование регулярных пучков матриц проводится на основе теории элементарных делителей Вейерштрасса, изучение сингулярных основные сведения о матрицах опирается на теорию минимальных индексов Кронекера, которая является как бы дальнейшим развитием теории элементарных делителей Вейерштрасса. С помощью теории Кронекера автору кажется, что ему удалось упростить изложение этой теории в главе XII устанавливается каноническая форма пучка матриц в самом общем случае. Полученные результаты применяются к исследованию системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В главе XIII излагаются замечательные спектральные свойства матриц с неотрицательными элементами и рассматриваются две важные области применений матриц этого класса: основные сведения о матрицах однородные цепи Маркова в теории вероятностей и 2 осцилляционные свойства упругих колебаний в механике. Матричный метод исследования однородных цепей Маркова получил свое развитие в работах Осцилляционные свойства упругих колебаний связаны с другим важным классом неотрицательных матриц — с «осцилляционными матрицами». Основные сведения о матрицах матрицы их основные сведения о матрицах были исследованы Крейном совместно с автором настоящей книги. В главе XIII изложены только некоторые основные результаты из этой области. В главе XV собраны приложения теории матриц к системам дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В этой главе центральное место §§ 5-9 занимают теория мультипликативного интеграла и связанное с ним инфинитезимальное исчисление Вольтерра. Эти вопросы почти совсем не освещены в советской математической литературе. В первых параграфах и в § 11 изучаются приводимые по Ляпунову системы в связи с задачей об устойчивости движения и приводятся некоторые результаты §§ 9-11 основные сведения о матрицах к аналитической теории систем дифференциальных уравнений. Здесь выясняется ошибочность основной теоремы Биркгоффа, которую обычно используют для исследования решения системы дифференциальных уравнений в окрестности особой точки, и устанавливается канонический вид решения в случае регулярной особой точки. В § 12 главы XV в обзорном порядке излагаются некоторые результаты фундаментальных исследований Лаппо-Данилевского основные сведения о матрицах аналитическим функциям от многих матриц их применениям к дифференциальным системам. Последняя глава XVI посвящена применениям теории квадратичных форм и, в основные сведения о матрицах, ганкелевых форм к проблеме Рауса-Гурвица об определении числа корней многочлена, лежащих в правой полуплоскости. В первых параграфах этой главы приводится классическая трактовка вопроса. В § 5 дана теорема Ляпунова, в которой устанавливается критерий устойчивости, эквивалентный критерию Рауса—Гурвица. Наряду с критерием устойчивости Рауса—Гурвица в § 11 этой главы выводится сравнительно мало известный критерий Льенара и Шипара, в котором число детерминантных неравенств основные сведения о матрицах вдвое меньше, нежели в критерии Рауса—Гурвица. В конце главы XVI показана тесная связь с задачами устойчивости двух основные сведения о матрицах теорем Чебышева, которые были получены знаменитыми авторами на основе теории разложения основные сведения о матрицах ряд по убывающим степеням аргумента некоторых непрерывных дробей специального типа. Здесь же дается матричное доказательство этих теорем. Таков краткий перечень содержания настоящей книги. В заключение автор приносит свою искреннюю благодарность Котелянскому, прочитавшим рукопись книги и сделавшим много существенных замечаний, которые были учтены автором при подготовке книги к печати. Автор выражает также свою благодарность Узкову за ценные советы, использованные автором при написании книги. © Научная библиотека Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт.

Официальный сайт электронной библиотеки
cheb-pcservice.ru © 1999—2016 Электронаая библиотека